CAPÍTULO II

LOS NÚMEROS REALES.

En el capítulo anterior vimos que todo es mental y que la mente es causal, de tal manera que los pensamientos en la mente de X en algún momento tienen una repercusión en su experiencia. ¿Pero cómo es ese proceso?

Para entender el proceso causa-efecto la cantidad de variables y posibles combinaciones a considerar es inconmensurable, debido a que existen tantas causas como personas existen, no hay una persona que piense exactamente igual a la otra, hay creencias, supersticiones, filosofías, religiones y formas de pensar tan diversas que si consideramos todas al mismo tiempo sin una base ordenada, lógica y comprobable, lo más seguro es que en pocos minutos estemos realmente confundidos y no lleguemos a nada concreto ni a algo que nos sea útil para aplicar en nuestra vida diaria.

Debido a lo anterior el estudio del proceso causa efecto del presente libro se limita a una sola persona (X), en un tiempo presente y con un pensamiento muy simple. Por el momento no vamos a tomar en cuenta la interacción con otras personas, los factores externos, ni la continuidad del tiempo. Estos factores se tomarán en cuenta en el segundo y tercer libro respectivamente, esto debido a que para llegar al entendimiento claro de los conceptos es necesario establecer una base clara y progresiva que nos ayude a ir descubriendo progresivamente todo lo que hay detrás del proceso causa-efecto.

Como lo dice el título del libro, la manera de estudiar el proceso causa-efecto va a ser mediante un modelo matemático, el cual, contrario a lo que algunos puedan pensar, no complica las cosas, al contrario, no he encontrado una manera más simple de explicar conceptos mentales que utilizando matemáticas. Además no soy el este modelo matemático no es el único modelo matemático que existe y mucho menos es el primero, ya que la mayoría de las ciencias amplían sus conocimientos basándose en modelos matemáticos, esto es, observar un fenómeno en la naturaleza, crear un modelo matemático que lo represente y verificar si el modelo matemático se comporta de la misma manera que el fenómeno real.

En el capítulo anterior estuvimos hablando de la teoría de la relatividad, E=mc² es un ejemplo de modelo matemático, porque con una relación matemática se está representando un fenómeno de la realidad. Otro ejemplo podría ser la economía, porque los análisis se hacen basándose en modelos matemáticos que se acercan a lo que sucede en los fenómenos económicos de la realidad y lo que determina la efectividad de dicho modelo es qué tan cercano se encuentre el modelo matemático del modelo real.

El crear un modelo matemático tiene como beneficio el experimentar sin necesidad de tener malas experiencias, por ejemplo, ¿Te imaginas cuantas veces hubiera tenido que lanzar cohetes la NASA al azar para verificar su comportamiento y lograr un experimento exitoso? Si no hubiera sido con modelos matemáticos el hombre nunca hubiera llegado a la Luna.

Si en dichas ciencias se utilizan modelos matemáticos y se ven resultados muy óptimos, ¿Por qué no plantear un modelo matemático para tu propia vida? De esta manera se podría analizar, entender y aplicar las conclusiones en los diferentes aspectos de la vida sin necesidad de vivir en una atmósfera de ensayo y error. Por otro lado, si logramos plantear un modelo de vida por medio de un modelo matemático sabríamos exactamente con qué bases pensar y por consecuencia el rumbo de nuestras vidas ya tendría una dirección perfectamente establecida sobre la base de lo que realmente deseamos.

Es indispensable entender que lo importante del modelo no es qué tan complicado sea, la validez que va a tener dicho modelo es qué tanto se puede aplicar a la vida de la manera más sencilla (Porque de nada nos serviría tener un modelo teórico perfecto si no se cumple en la realidad).

Para crear nuestro modelo matemático para la vida necesitamos observar el modelo real y buscar las similitudes que tiene con las matemáticas, después estudiar el modelo real mediante el modelo matemático y por último verificar si las conclusiones del modelo matemático se cumplen en la realidad. Si el resultado es positivo, entonces podemos tomar como válido el modelo matemático y proseguir con el estudio de la realidad con dicho modelo.[1]

LOS PENSAMIENTOS ELEMENTALES.

La real academia de la lengua española define a pensamiento como: Potencia o facultad de pensar. Esta definición nos define al pensamiento de una manera dinámica, es decir, como un verbo, una acción y vamos a definir los elementos de dicha facultad de pensar como: Pensamientos elementales.

Todas las operaciones en la mente como el razonamiento, el aprendizaje, los sentimientos, la inventiva y el lenguaje, entre otras, involucran pensamientos elementales en operación.

¿Cómo podríamos establecer una similitud entre los pensamientos elementales con las matemáticas?

Voy a responder la pregunta anterior con otra pregunta ¿Cuáles son los elementos en las matemáticas?

Las matemáticas utilizan como elemento primario los números y de esta manera se puede observar que existe una relación conceptual entre los números y los pensamientos elementales.

Vamos a tomar como base lo anterior para expresar los pensamientos elementales con los números reales y se va a tatar de encontrar qué similitudes tienen las operaciones matemáticas con operaciones mentales, por lo que vamos a empezar con la definición de las operaciones básicas en matemáticas.

LAS OPERACIONES BÁSICAS DE LOS PENSAMIENTOS ELEMENTALES.

La operación básica en las matemáticas es la suma, que es agrupar elementos de la misma especie. La operación suma es la más fácil de entender de todas las operaciones matemáticas y entendiendo este concepto tan sencillo entonces podrás entender las matemáticas a todos los niveles porque todo en matemáticas son sumas.

¿Cómo podríamos definir la suma como una operación de pensamientos elementales?

Como habíamos dicho, la suma es una agrupación de elementos de la misma especie, la única diferencia es que los elementos que vamos a considerar van a ser elementos mentales: pensamientos elementales. Por ejemplo: Cuando a X le presentan a una persona que no conocía, X está efectuando la operación de suma en su mentalidad, porque dicha persona va a representar un nuevo pensamiento para X que se adiciona a los demás pensamientos que X ya tenía.

LOS AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES. [2]

Para demostrar cualquier ley siempre es necesario tener una base; así como en el capítulo uno nos basamos en la teoría de la relatividad, porque ésta es una ley científicamente comprobada, la teoría de la relatividad a su vez se apoyó en otras leyes que anteriormente habían sido demostradas, las antiguas leyes en otras y así sucesivamente; ¿Si esa es la base del desarrollo científico hubo algún inicio o un punto en el que el conocimiento se tomara por dogma de fe?

La base de todo el conocimiento matemático se encuentra en los axiomas de los números reales; un axioma es un postulado tan simple o tan obvio que no requiere demostración.

NOTA:

Cabe destacar que los axiomas de los números reales son los únicos conceptos matemáticos que no requieren demostración, fuera de éstos todo conocimiento en matemáticas requiere de una demostración para tomarse como válido.

Son dieciséis axiomas de los números reales en total, cinco para la suma, cinco para la multiplicación, cuatro axiomas de orden, la ley distributiva y el axioma del supremo. Primero los voy a enunciar como conocimiento matemático y posteriormente se explicarán las aplicaciones de los mismos en la vida.

Los axiomas fueron catalogados con una letra y un número. La letra simboliza el tipo de axioma del que se trata y el número únicamente es la numeración que le corresponde con los axiomas del mismo tipo. La letra “A” es para los axiomas de adición, la “M” para los de multiplicación, la “D” para la ley distributiva, la “O” para los axiomas de orden y la “L” para el axioma del supremo.

Voy a explicar primeramente la ley distributiva, para definir la operación de multiplicación en la mente.

D. Para todo número “a”, “b” y “c” pertenecientes a los números reales se cumple que:

(a)(b + c)= (a)(b) + (a)(c)

La ley distributiva nos dice que si tenemos a un número que multiplica a la suma de otros dos el resultado es lo mismo que si tuviéramos la suma de cada uno multiplicado por separado. Por ejemplo: (2)(3 + 5)

Esta operación se puede resolver de dos maneras, la primera es sumando los números que se encuentran dentro del paréntesis y posteriormente realizar la multiplicación:

(2)(3 + 5) =(2)(8)

(2)(8)=16

Si aplicamos la ley distributiva, podemos resolver la misma operación realizando primero la multiplicación del factor por cada uno de los sumandos dentro del paréntesis y después realizar la suma de esas multiplicaciones:

(2)(3 + 5)= (2)(3) + (2)(5)

(2)(3) + (2)(5) = 6 + 10

6 + 10 = 16

Como se puede verificar en el ejemplo anterior, la multiplicación se distribuyó en la suma, es decir, que el número dos multiplicó todos y a cada uno de los números dentro del paréntesis.

Como habíamos dicho anteriormente un pensamiento de suma es cuando agregas un nuevo pensamiento a tu mentalidad, supongamos que X hace suya la idea de amor. Este pensamiento si se toma como pensamiento de suma entonces es únicamente un conocimiento, es decir, X ya conoce el concepto de amor. ¿Qué sucede cuando el mismo pensamiento es tomado como multiplicación? Por la ley distributiva tenemos que ese pensamiento va a multiplicar a cada pensamiento dentro de la mentalidad, como sucede en matemáticas; en otras palabras, cada pensamiento será modificado por el pensamiento de amor, o por decirlo así: “Todo se vuelve de color de rosa”. Otro ejemplo muy común de pensamientos de multiplicación es el pensamiento de carencia económica: Cuando X toma este pensamiento como pensamiento de multiplicación éste se distribuye entre todos sus pensamientos, provocando así que todos los pensamientos de X tengan implícito un sentido de carencia, es decir, cuando piensa en su trabajo piensa en lo fuerte que está la crisis y que tiene que trabajar a destajo o que es muy posible que pierda el empleo, si piensa en sus hijos, podría llegar a conclusiones como: “Les espera un futuro desgraciado porque cada vez la situación está peor”, “las colegiaturas cada vez están más caras”.

Si te das cuenta es de gran importancia saber identificar los pensamientos de multiplicación, ya que pueden afectar todas las ideas dentro de tu mentalidad y hasta se pueden llegar a tomar como una forma de pensar, por ejemplo: “yo soy pesimista”. Ese “yo soy” involucra que el pensamiento de pesimismo se encuentra multiplicando y por lo mismo se va a distribuir dentro de todos los pensamientos de la persona.

Una forma de identificar si un pensamiento lo tenemos en forma de multiplicación es pensar en cualquier cosa al azar, lo primero que venga a la cabeza y ver si ese pensamiento lleva implícito el pensamiento que creemos tener multiplicándonos. Por ejemplo: X quiere identificar si tiene el pensamiento de crisis como pensamiento de multiplicación, entonces piensa lo primero que le venga a la cabeza, por ejemplo: "zanahorias" y cuando X dibuja la idea de zanahorias en su mente piensa: "¡las zanahorias cada vez están más caras!" significa indudablemente que ya tiene un pensamiento de crisis distribuido en su mentalidad.

Otro ejemplo puede ser cuando X conoció a Y. En el proceso del cortejo y el enamoramiento X tenía multiplicado el pensamiento de Y en su cabeza, por lo que sin importar qué pensara o de qué se tratara la conversación, el pensamiento de Y siempre salía a colación. Le hablábamos de Futbol y X nos decía: ya les dije que a Y no le gusta el futbol? Si hablábamos de trabajo decía: Y ya me dijo que no me tengo que estresar tanto y así sucesivamente, no había concepto o idea de la cual le habláramos sin que saliera algo referente a Y en la conversación.

La operación de multiplicación es considerablemente más fuerte que la operación de suma, por lo que es muy importante tener en cuenta qué pensamientos tenemos haciendo la operación de multiplicación en nuestra mente, ya que estos tendrán una repercusión más notoria en la experiencia.

Cuando X se dio cuenta de la fuerza que puede tener un pensamiento de multiplicación la pregunta que me hizo fue: ¿y cómo es que un pensamiento se puede convertir en un pensamiento de multiplicación?

Hay dos formas en las que un pensamiento puede llegar a hacer una operación de multiplicación. La primera es tomando en cuenta la definición de multiplicación que nos dieron en la primaria: La multiplicación es una suma abreviada.

Esto es, si tengo que sumar varias veces el número 2, digamos unas 5 veces se tiene: 2+2+2+2+2 y el resultado es 10. La misma operación puede ser expresada como una multiplicación: 2+2+2+2+2=2(5)

Si tenemos que el número 5 está multiplicando a X tendríamos lo siguiente[3]:

5X=X+X+X+X+X

Lo que significa X sumado 5 veces. La misma multiplicación se puede expresar de la siguiente manera:

5X=5+5+5+…+5

Lo que significa 5 sumado X veces. ¿Pero cuántas veces es X veces? Como el valor de X es variable, es decir, que cambia con respecto al libre albedrío de X, podríamos llegar a pensar que el valor de X depende del número de pensamientos diferentes que pueda llegar a tener X o a un valor específico que X piense en cierto momento.

La expresión 5X significa que X se encuentra multiplicado por el número 5, pero en cuestiones de la experiencia de X va a ser altamente improductivo que X multiplique sus pensamientos por un número, por lo que para llegar a un planteamiento más real vamos a poner el siguiente ejemplo: X se levanta un día en la mañana con algo de flojera, baja a la cocina a desayunar, le da los buenos días a Y y Y le dice –Como que hoy tengo flojera--. X llega al trabajo y algunos compañeros en diferentes momentos del día le dicen a X – hoy ando con flojera--. La operación que está sucediendo en los pensamientos de X es que el mismo dato, el mismo pensamiento de flojera lo está sumando una y otra vez, hasta que llega el momento en donde esa misma operación puede llegar a sumar el pensamiento de flojera X-veces y tendríamos la siguiente expresión:

flojera+flojera+flojera+…+flojera=(flojera)X

Y en el momento donde esa suma repetitiva llega a ser una multiplicación ya no va a poder existir pensamiento de X que no se vea afectado por la idea de flojera.

He llegado a escuchar en cursos motivacionales, de metafísica e inclusive de ventas, que la idea que quieras lograr la pienses, la pienses y la vuelvas a pensar y una vez que ya la pensaste piénsala de nuevo. Con lo anterior se puede observar el tipo de operación que se está intentando provocar en la mente: el pensar algo de manera repetitiva (operación suma) muchas veces puede provocar que X se multiplique por el pensamiento en cuestión. De tal manera si X piensa “sí puedo” una y otra vez en algún momento puede llegar a la expresión:

(Sí puedo)X

Y todo lo que piense X se verá afectado por el pensamiento de “sí puedo” y eso puede resultar una estructura mental bastante agradable, puesto que una vez que se encuentre el pensamiento de “sí puedo” multiplicando no habrá necesidad de seguir pensando en él todo el tiempo, sino que dicho pensamiento va a operar y a modificar cualquier pensamiento que llegue a tener X, por ejemplo, si X piensa en el trabajo lo que tendríamos que hacer sería sustituir a la X con el pensamiento de trabajo:

(Sí puedo)X=(Sí puedo)(Trabajo)

Y el resultado de la operación anterior es que va a tener gran seguridad en lo que haga en el trabajo, pero ya no va a tener que seguir pensando todo el tiempo: Sí puedo, sí puedo…

Aunque el pensar repetitivamente un solo pensamiento puede ser muy eficaz para muchas personas no signifique que de debe de tomar como una receta de cocina para todos. Por ejemplo, para Y le es muy fácil éste tipo de procesos mentales y sí tiene la capacidad de pensar un solo pensamiento una y otra vez sin perder foco, sin embargo cuando X intenta pensar repetidas veces “sí puedo” para llegar a la operación de multiplicación le sucede lo siguiente:

Para poder tengo que pensar que sí puedo una y otra vez, está bien, vamos a comenzar: sí puedo, sí puedo, sí puedo ¿Cuántas llevo? No importa, concéntrate, sí puedo, sí puedo, se me antojó un café, me voy a servir uno, pero mientras sigamos pensando, sí puedo, sí puedo, sí puedo, ¡se acabó el café!, tengo que ir a la tienda, sí puedo, sí puedo…

El hecho de que a Y se le facilite este tipo de operaciones y a X se le complique demasiado dependerá de la estructura mental de cada quién. En el presente libro vamos a analizar un gran número de estructuras mentales y operaciones y el objetivo es que encuentres cuáles son las que más te acomodan y apliques aquellas que te sean más útiles.

Como a X no se le facilita el sumar repetidas veces una idea ¿Significa que X no puede llegar a la operación de multiplicación? La respuesta es no, ya que el sumar y sumar no es la única manera, sí se puede realizar la operación de multiplicación de manera directa, sin embargo para lograrla es necesario realizar la operación con mucha fuerza e intención tanto racional como emocional y la mente realizará la operación de manera automática. Por ejemplo: En el momento en que X entra en la oficina su asistente le dice que su jefe quiere hablar con él, X se dirige con su jefe y después de recibir un sermón sobre los costos corporativos, la reestructuración y los cambios que debe de hacer la empresa para afrontar estos momentos de cambio le dice a X que sus servicios no serán requeridos a partir de este momento.

Una reacción de X podría ser el tomar dicha noticia como un pensamiento de suma y como lo vimos anteriormente, X únicamente agregaría ese nuevo pensamiento a su mente, sin embargo considero que dicha noticia va a tener considerablemente mayor afectación en el pensamiento de X que simplemente darse por enterado. Por lo que esa noticia llegó como pensamiento de multiplicación y por lo mismo ese pensamiento afectará todo lo que piense a partir de ese momento y por todo el tiempo que lo mantenga haciendo esa operación. Si piensa en sus hijos x₁y x₂, ese pensamiento por supuesto que va a ser afectado por el pensamiento de que lo acaban de correr y de igual manera hacia cada uno de los pensamientos que decida tomar en ese momento, todos y cada uno de ellos se van a ver afectados por dicho pensamiento, con lo que podemos corroborar que la operación que está haciendo el pensamiento de que fue despedido es de multiplicación. Mi pregunta aquí es ¿Fue necesario que X pensara de manera repetitiva y sin cesar: me corrieron, me corrieron,…, me corrieron?

La respuesta es no, simplemente por ser una noticia fuerte para X le imprimió la emoción suficiente como para lograr esa multiplicación en una sola operación.

Axioma de equilibrio o cerradura

A1. Para todo número “a” y “b” pertenecientes a los números reales se cumple que:

a + b = c

“c” también pertenecerá a los números reales.

M1. Para todo número “a” y “b” pertenecientes a los números reales se cumple que:

(a)(b) = d

“d” también pertenecerá a los números reales.

Los axiomas A1 y M1 nos dicen que si se suman o multiplican dos números reales el resultado también va a ser un número real. Por ejemplo:

2 + 5 = 7

(2)(5) = 10

Tanto el número dos como el número cinco son números reales y el resultado tanto de su suma como de su producto fueron números reales.

La traducción a términos mentales sería de la siguiente manera:

Cualquier operación que se realice con pensamientos el resultado también va a será un pensamiento.

Este axioma se le conoce como axioma de cerradura porque nos dice que las operaciones que se hagan dentro de un conjunto, sus resultados se encontraran incluidos en el mismo conjunto, es decir, que si estamos hablando de que todo es mental, significa que cualquier operación que se haga en la mentalidad su resultado será también mental. Como puede observarse esta conclusión va de la mano con todo lo que se expuso en el capítulo anterior.[4]

Propiedad conmutativa

A2. Para todo número “a” y “b” pertenecientes a los números reales se cumple que:

a + b = b + a

M2. Para todo número “a” y “b” pertenecientes a los números reales se cumple que:

(a)(b) = (b)(a)

A2 y M2. La ley conmutativa nos dice que el orden de los sumandos no altera la suma y que el orden de los factores no altera el producto. Por ejemplo:

6 + 8 = 14; 8 + 6 = 14.

(6)(8) = 48; (8)(6) = 48.

Es evidente que no importó el orden en que se acomodaron el 6 y el 8, el resultado no varió ni para la suma ni para la multiplicación.

Explicándolo desde el punto de vista de operaciones mentales tenemos que sin importar el orden en que se sumen o multipliquen los pensamientos elementales en la mente el resultado va a ser el mismo.

Cabe recordar que el objetivo del presente libro es el analizar los pensamientos de X en un tiempo presente, en este sentido la propiedad conmutativa sí se cumple, de tal manera que si tenemos la expresión matemática en donde X se encuentra multiplicado por el pensamiento de “sí puedo” es exactamente lo mismo expresarlo como (sí puedo)(X) ó (X)(sí puedo) sin que esto nos altere el resultado. En el momento que se toman en cuenta diferentes puntos en el tiempo las operaciones ya no son conmutativas, por ejemplo: X no obtiene el mismo resultado si primero se lava las manos y luego come que si primero come y posteriormente se lava las manos.

La aclaración correspondiente para este contraejemplo es que en el momento en que se considera la continuidad del tiempo o se considera más de una dimensión las operaciones no son conmutativas. Estas excepciones se verán con más profundidad en el segundo tomo, sin embargo la aplicación a estos axiomas nos puede ser útil en este momento para la notación matemática que se va a utilizar y sí se cumple para cualquier expresión que se considere en un tiempo presente.

Propiedad asociativa

A3. Para todo número “a”, “b” y ”c” pertenecientes a los números reales se cumple que:

a + (b + c) = b + (c + a) = c + (a + b)

M3. Para todo número “a”, “b” y “c” pertenecientes a los números reales se cumple que[5]:

(a)[(b)(c)] = (b)[(c)(a)] = (c)[(a)(b)]

A3 y M3 A estos axiomas se les llama propiedad asociativa y lo que nos dicen es que cuando se tiene la suma o la multiplicación de tres o más números se pueden asociar de dos en dos, hacer la operación y posteriormente sumar o multiplicar el número que sigue. Por ejemplo:

2 + 3 + 4 y

(2)(3)(4)

Estas operaciones no se puede hacer directamente, lo que tenemos que hacer es asociar al dos con el tres, hacer su operación y después tomar en cuenta al cuatro:

(2+3) + 4 = 5 + 4 = 9

[(2)(3)](4) = (6)(4) = 24

Otro aspecto que nos indica la propiedad asociativa es que no importa el orden en que tomemos nuestras parejas ordenadas, porque el resultado va a ser el mismo gracias a la propiedad conmutativa:

2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

(2)[(3)(4)] = (2)(12) = 24

Tal vez se pueda suponer que las operaciones anteriores se hubieran podido realizar sin necesidad de la propiedad asociativa; pero qué sucedería si tuviéramos la suma o la multiplicación de veinte números (por ejemplo) al mismo tiempo. A continuación voy a ejemplificar una operación con cinco números para que veas lo que sucede:

2 + 3 + 4 + 5 + 6

Para realizar óptimamente la operación debemos tomar una pareja de números y ejecutar la operación, esa operación nos dará como resultado otro número, el cual puede formar una pareja con el número siguiente y así sucesivamente:

(2 + 3) + 4 + 5 + 6 =

(5 + 4) + 5 + 6 =

(9 + 5) + 6 =

14 + 6 = 20

Esta propiedad es bastante sencilla de entender y tiene una gran aplicación en la vida:

Como estamos hablando de la mente y que los pensamientos los vamos a estudiar por medio de los números, entonces esta propiedad nos dice que cuando un grupo de pensamientos se adiciona o se multiplica a la mentalidad van a ser asociados de dos en dos para efectuar la operación.

X me ha mencionado que se encuentra muy estresado últimamente, lo que yo le pregunté: cuando estás en la oficina ¿Qué piensas? A lo que me contestó – en mi bandeja de entrada de correo electrónico tengo más de 70 correos sin leer, que en mi agenda tengo 3 juntas, tengo que hacer varias llamadas y…-- entonces lo interrumpí diciendo, calma, calma, ya me quedó clara la idea de por qué estás estresado.

En el momento en que le pides a tu mente que sume o resuelva al mismo tiempo 70 correos, 3 juntas, las llamadas y todo lo demás que tienes que hacer lo que sucede es que tu mente no hace ninguna. Si te das cuenta dentro de todo lo que acabas de decir no hay ninguna operación, únicamente estás enumerando todas las cosas que tienes que hacer pero no hay un proceso resolutivo. La manera de resolver tantas tareas pendientes es entendiendo que tanto en matemáticas como en tu mente todas las operaciones se hace únicamente tomando un elemento a la vez y realizar la operación con el que sigue.

Mira X, te voy a platicar sobre un tema muy interesante que es la meditación. He escuchado que en la meditación el objetivo es poner la mente en blanco, no pensar en nada y dejar que la mente fluya ¿Quieres que te diga cómo poner la mente en blanco inmediatamente?

Piensa en 10 números de 2 cifras cada uno y súmalos al mismo tiempo…

¿Ya viste cómo tu mente se quedó en blanco?

El porqué la mente de X se trabó lo podemos explicar con la propiedad asociativa, que dice que si quieres adicionar o multiplicar un grupo de pensamientos a tu mentalidad éstos se van a adicionar o multiplicar en parejas ordenadas, o sea, de uno en uno; de lo contrario no se puede realizar la operación. En el ejemplo anterior no se puede dar una objetivación inmediata de los pensamientos de 70 correos no leídos, 3 juntas y varias llamadas, todo al mismo tiempo. El que X tenga una estructura de pensamiento como la mencionada lo lleva a altos niveles de preocupación, en donde en su cabeza va a enumerar una y otra vez todo lo que le falta por hacer, pero mientras no realice las operaciones correspondientes no va a lograr absolutamente nada, o mejor dicho, sí puede lograr algo: colitis nerviosa, úlcera, jaqueca y demás expresiones Psicosomáticas causadas por el estrés.

La manera más óptima de hacer frente a todas esas tareas es ordenarlas y resolverlas de una en una y tratar de hacer todo lo posible por no pensar en todo lo que le falta, sino únicamente enfocarse en la tarea que tiene en frente y una vez que la haya terminado tomar la siguiente y así sucesivamente. De esta manera antes de que termine el día se dará cuenta de que ya terminó y si no ha terminado se dará cuenta de que tendrá un alto porcentaje de pendientes solucionados al 100% y no un 100% de pendientes resueltos al 25%.

Vamos a suponer que adicionalmente a todas las tareas que tiene que realizar X se presenta un problema de embarque en la empresa donde trabaja y resulta que es su responsabilidad. Ante la esta problemática X puede tener, entre otras, dos de las siguientes estructuras mentales:

1. Tenemos un problema de embarque, está muy difícil, ¿quién fue?, ¿porqué siempre me avientan a mí los problemas?, ¿qué voy a hacer?, ¡ahora sí vamos a perder al cliente!

2. Tenemos un problema de embarque, ¿cuál es la base del problema?, ¿no tenemos el producto para entregar?, cuánto tiempo se va a tardar en llegar?, ¿se puede embarcar desde otro lado?, ¿no?, ¿es más rápido mandarlo producir?, ¿el cliente está muy enojado?, ¿con cuántos fondos contamos? voy a hablar con el cliente para explicarle la situación y comunicarle la nueva fecha compromiso de entrega de su pedido, además como atención a un cliente tan importante y esperando su futura preferencia los costos de embarque van por nuestra cuenta.

En el primer escenario X no está haciendo ni una sola operación, únicamente está enumerando pensamientos que no lo están llevando a nada, bueno, sí lo están llevando a un nivel de estrés impresionante acompañado de un toque de angustia extrema.

En el segundo escenario X está aplicando la ley asociativa y haciendo las operaciones de manera gradual. Es decir, la respuesta a la primera pregunta lo lleva a plantear la siguiente pregunta y así sucesivamente hasta que se llega a una conclusión o a la resolución del problema.

El mantener la mente con procesos resolutivos (haciendo operaciones) y no en procesos de preocupación (pensar una y otra vez en el problema sin resolverlo) puede volver considerablemente más agradable un día de trabajo, aunque cabe mencionar que este tipo de actitud no es bien vista desde el punto de vista corporativo, ya que el hecho que no vean preocupado o estresado al empleado se llega a malinterpretar como que al empleado no le importa. De hecho una vez trabajando para una empresa global un jefe que tuve me llegó a decir que el problema conmigo era que no tenía sentido de urgencia. ¿?

Si tomamos en cuenta el trabajo que me costó y el tiempo que me llevó el lograr no estresarme en el trabajo y llegar a ser considerablemente más productivo por no desperdiciar el tiempo en preocupaciones, se podrá entender el porqué internamente solté la carcajada y cabe recalcar la palabra internamente, ya que si lo hubiera exteriorizado seguramente me hubieran despedido en ese momento.

Por el contrario he observado que es bien visto (por lo menos en México) a un empleado estresado, como que eso le dice al jefe que le importa su trabajo y que está comprometido con el resultado. Aún a pesar de lo anterior sigo completamente convencido que en el momento en que una persona se estresa su proceso mental es menos claro y productivo que si la persona se encuentra en armonía y tiene su mente ordenada en procesos resolutivos.

Cuando las estructuras mentales de una persona no son ordenadas los resultados en sus vidas no son los deseados. Por el contrario, si se asocian los pensamientos en forma gradual y se van adicionando uno a uno a la mentalidad se reduce en gran medida la presión, la prisa, la desesperación, la desilusión y las "traiciones" de la vida hacia nosotros.

“Todas las operaciones en la mente como sus objetivaciones se desarrollan gradualmente, asociando un nuevo pensamiento hasta que la operación anterior haya sido realizada.”

Después de escuchar lo anterior X me preguntó: ¿El realizar los proceso de la vida de manera gradual no vuelve lento el proceso?

Es completamente posible realizar un proceso gradual de una forma muy rápida. El término gradual se refiere a que se tienen que hacer todas las operaciones necesarias dentro del proceso, sin saltarse pasos y sin realizar alguna operación que no sea válida. La forma de realizar una serie de operaciones de manera gradual con gran velocidad es optimizando la forma en la que se realizan las operaciones. Por ejemplo:

1+2+3+4+…+997+998+999+1000

La operación anterior significa que tenemos que sumar todos los números enteros que se encuentran entre el “1” y el “1000”.

Realizando esta operación aún con una calculadora nos tomaría más de 16 minutos suponiendo que se hace una suma por segundo. Esto sería lo menos que nos podríamos tardar, porque es un poco complicado digitar en la calculadora números de 3 dígitos seguidos del signo de “+” en un segundo y no estoy tomando el caso en que esta operación se haga a mano.

Con respecto a la suma anterior hay una historia famosa en el mundo de las matemáticas en donde el profesor J.G. Büttner intentaba mantener ocupados a sus alumnos realizando la suma de los números enteros del 1 al 100, cuando Carl Friedrich Gauss[6] a la edad de 8 años sorprendió a su profesor cuando el entregó el resultado en segundos.

¿Cómo fue que Gauss terminó una operación tan grande en tan poco tiempo?

Vamos a aplicar el método que Gauss empleó para resolver nuestra suma de mil números, lo que él hizo fue romper el paradigma de sumarlos en orden progresivo, en lugar de esto lo que hizo fue sumar los extremos de la siguiente manera:

1+1000=1001

2+999=1001

3+998=1001

4+997=1001

…

Todas las operaciones anteriores dan como resultado “1001” y si estamos sumando parejas, podemos alcanzar a ver que se pueden formar “500” parejas de números en una lista de “1000” que siempre nos dan la misma suma. Entonces el resultado se puede obtener haciendo la multiplicación:

500(1001)=500500

Y eso es exactamente el resultado de sumar todos los números enteros entre el “1” y el “1000”.

Este ejemplo nos funciona para darnos cuenta que fue un proceso gradual, nada más que más que considerablemente más rápido. Llegamos a resumir mil operaciones en una sola. Sin embargo el resumir mil operaciones en una sola no hubiera sido posible si no hubieran estado en orden o si faltaban elementos. Si traducimos este proceso a un proceso mental tenemos lo siguiente: Primero se tiene que tener consciencia de cuáles son los elementos que están operando, cuál es su estructura, hacer un análisis de cómo se puede llegar a optimizar el proceso y después hacer las operaciones pertinentes.

Como vimos en el capítulo I, la mente es causal y va a ser causal a través de los elementos de esa mentalidad individual y de las operaciones que se hacen con estos, es por esto que es de vital importancia el hacer consciencia de cuáles son los pensamientos que se encuentran es nuestro espacio mental y de qué manera están operando, porque de eso depende nuestra vida entera.

A lo largo de los 3 libros iremos analizando una gran variedad de operaciones mentales y sus estructuras, para cada vez crear más consciencia y poder aplicar de manera directa la idea de que todo es mental en nuestra vida diaria.

Axiomas del neutro y el inverso aditivo.

A4. Existe uno y un sólo número en los números reales denotado por “0” (cero) tal que:

a + 0 = 0 + a = a

Para la suma, sin importar a qué número se le sume el número cero el resultado va a ser siempre el número original, esto es, que el cero no afecta en nada a la operación de suma. Por ejemplo:

2 + 0 = 2 y

33.78 + 0 = 33.78

A5. Para cada número real “a” existe uno y un sólo número en los números reales denotado por “-a” tal que:

a+(-a)=(-a)+a=0

Éste axioma habla del inverso aditivos. El inverso aditivo tiene la siguiente propiedad: Cuando a un número se le suma su inverso el resultado es cero, que es el neutro aditivo.

Para la suma el inverso aditivo es el mismo número pero de signo contrario, por ejemplo:

3 + (-3) = 3 -3 = 0 y

-6 + 6=0

Hasta este momento hemos definido como operaciones mentales tanto a la suma como a la multiplicación y este es el primer momento que nos encontramos con un número negativo. ¿Qué significa como operación mental un número negativo?

La recta numérica de los números reales tiene la siguiente forma:

-¥ ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ¥

Si vemos al signo negativo desde el punto de vista de la lógica, un negativo implica una negación, de tal manera que todos los números negativos es la negación del número positivo que le corresponde. Por ejemplo: el contrario o la negación del pensamiento de salud sería la enfermedad, en donde la palabra enfermedad se puede representar como un “no salud” o como “-salud” y de esa manera aplica para todos los pensamientos. Aunque en nuestro lenguaje existan palabras para denotar pensamientos negativos, los podemos expresar como la negación del positivo que le corresponde: pobreza se puede expresar como no abundancia, tristeza como no felicidad y así para todas las ideas negativas. Supongamos que X está pensando que no puede, el pensamiento de “no puedo” se puede expresar de la siguiente manera:

No puedo=-puedo

En cursos de superación personal se llega a escuchar muy a menudo que hay que mantener un pensamiento positivo y que eliminemos los pensamientos negativos, lo cual es enteramente imposible. Un pensamiento como tal no se puede eliminar ya que violaría totalmente el principio de conservación de la energía.

Cuando X escuchó lo anterior inmediatamente preguntó: eso significa que si he estado pensando algo feo, algo pesimista o algo que no quiero tener en mi experiencia ¿no lo voy a poder eliminar?

La respuesta a lo anterior es que tanto en matemáticas como en el pensamiento nunca se elimina.

Durante algunos años llegué a dar clases particulares de regularización de matemáticas a alumnos de secundaria y preparatoria, que dentro de su temario ya se encuentra el álgebra y en la gran mayoría de los casos llegué a ver que la forma en la que sus maestros se expresaban cuando encontraban dos inversos aditivos (3X-3X, por ejemplo) decían alguna de las siguientes frases: “se van”, “se cancelan”, “se eliminan”. En donde la pregunta inmediata después de escuchar la frase “se van” sería ¿a dónde?

El hecho detrás de todo esto es que nunca se van, ni se eliminan, ni se cancelan, sino que la operación da cero, el cual sí es un número y sí es un resultado válido en matemáticas, pero como el número cero es el neutro aditivo aparentemente “se eliminan”.

Teniendo que el cero es el neutro, si encontramos una operación mental que pueda reducir al cero el pensamiento, dicho pensamiento quedaría sin una base causal que le permita expresarse en una experiencia, por lo que la respuesta a la pregunta de X, para su tranquilidad (y la de todos) es que aún después de haber pensado algo que no se quiera tener en la experiencia sí hay forma de quitarle la causa al mismo sin romper el principio de conservación de la energía.

Vamos a suponer que X piensa que no puede, que basándonos en la notación que vimos unos párrafos atrás, matemáticamente se expresaría de la siguiente manera:

X-puedo

Tanto en matemáticas como en la mente no existe la operación “resta” de hecho es exactamente la misma operación que la suma, pero sumando valores negativos. Entonces si X está pensando que no puede y no quiere que se manifieste dicho pensamiento en su experiencia, la operación correspondiente para evitar dicho acontecimiento sería pensar el inverso, que es el mismo pensamiento pero de signo contrario, que en este caso sería el pensamiento de “sí puedo” y expresándolo de manera matemática quedaría como sigue:

X-puedo+puedo

Que gracias al Axioma del inverso aditivo tenemos que como –puedo y +puedo son inversos el resultado es cero:

X-puedo+puedo=X+0

Y como el Axioma del neutro aditivo nos dice que X sumado al cero es X tendríamos que X logró reducir a un neutro el pensamiento de –puedo de su mente y ya no tiene una razón para que ese pensamiento le siga afectando, ya sea en su mente o en su experiencia.

Como se puede apreciar en los axiomas que estamos tratando en este momento, el número cero posee características únicas: el cero es el único número sin signo (el número cero es el único número positivo y negativo al mismo tiempo o carece de signo), también se le podría tomar como la frontera o el punto divisorio de los números positivos y negativos, y por último si tomamos la posición que ocupa con respecto a todos los números reales podemos llegar a la conclusión de que se encuentra en medio.

-¥ ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ¥

De lo anterior ya tenemos una característica muy importante: El justo medio de los números es el número cero, es aquél número que se encuentra entre los positivos y los negativos, entre el exceso y el defecto. Y como dijo Aristóteles[7]: … así como el exceso y el defecto destruirían la perfección, sólo el justo medio puede asegurarla…

El diccionario de la real academia de la lengua española define perfección como: Cualidad de perfecto. En este caso en particular vamos a enriquecer dicha definición con lo que dice Aristóteles. Por lo que para los efectos del estudio del presente libro cada vez que se hable de perfección estaremos tomando como base la siguiente definición:

“La perfección es el justo medio de todas las cosas”

La cual se va a representar matemáticamente con el número “0” (cero), gracias a que si tomamos en cuenta las características que posee el cero cumple perfectamente con la definición.

Es realmente amplio el desarrollo de las implicaciones que tiene el estudiar el concepto de perfección mediante el número cero, dicho desarrollo se verá de manera progresiva a lo largo del resto de los capítulos del presente libro y de los dos subsecuentes.

Axiomas del neutro y el inverso multiplicativo.

M4. Existe uno y un sólo número en los números reales denotado por “1” (uno) tal que:

(a)(1) = (1)(a) = a

Al igual que el cero es neutro para la suma, el uno es neutro para la operación de multiplicación, de tal manera que el resultado de multiplicar cualquier número por uno, el resultado es el número original. Por ejemplo:

(2)(1) = 2 y

(33.78)(1) = 33.78

M5. Para cada número real “a” diferente de cero[8] existe uno y un sólo número en los números reales denotado por “a-1” tal que:

(a)(a -1) = (a -1)(a) = 1

Para la multiplicación el inverso multiplicativo es igual al número elevado al exponente menos uno (a-1), que es lo mismo que dividir uno sobre el número:

a-1 = 1/a

En otras palabras el axioma M5 dice que si se divide un número entre sí mismo el resultado es igual a uno. Por ejemplo:

(4)(4-1)= (4)(1/4) = 4/4 = 1 y

(8)(8-1)= (8)(1/8) = 8/8 = 1

Como se puede ver en el caso de la multiplicación el inverso es la división sobre el mismo número y el resultado es uno, que es el neutro multiplicativo.

Así como se han dado las definiciones como operaciones mentales para la suma, resta y multiplicación, a continuación se planteará la definición para la operación división.

La división tiene varios nombres en matemáticas: División, cociente o razón. En donde le vamos a prestar especial atención al último término: Razón.

La real academia de la lengua aporta diferentes definiciones para la palabra razón, en donde la principal definición es: Facultad de discurrir, en donde discurrir es: Reflexionar, pensar, hablar acerca de algo, aplicar la inteligencia. Y el mismo diccionario define la acepción matemática de la palabra razón como: Cociente de dos números o, en general, de dos cantidades comparables entre sí.

Vamos a tomar como ejemplo la siguiente división:

Para resolver la presente operación se formula la siguiente pregunta: ¿cuántas veces cabe el 4 en el 8?

Cuando X quiere encontrar la razón de algo la pregunta que se formula es: ¿Qué relación tiene esto con esto?

Como se puede apreciar la pregunta tiene la misma estructura y tiene la misma estructura porque la operación es la misma: comparar una cosa con otra. Por lo que a partir de este momento vamos a estudiar el comportamiento de razonar entre dos pensamientos elementales mediante la operación de división (razón) en donde la base de razonamiento será el denominador de dicha división.

Cada vez que X formule la pregunta: ¿Por qué? O dé una razón hacia algo será expresado matemáticamente en el denominador.

Una vez teniendo definidas las operaciones de suma, resta, multiplicación y división ya nos será posible plantear estructuras mentales en expresiones matemáticas, para lo cual vamos a dar varios ejemplos a continuación.

Si X se pregunta ¿porqué no tengo dinero? Se expresaría de la siguiente manera:

Si X dice que no tiene dinero porque no hay oportunidades, la expresión matemática sería la siguiente:

Si se toma la expresión anterior, pero sobre una estructura en donde el pensamiento de no tener dinero le afecta a todos y cada uno de los pensamientos de X la expresión matemática quedaría como sigue:

Teniendo como base el poder expresar las estructuras mentales en términos matemáticos nos puede ayudar para encontrar los resultados que puede obtener X en su experiencia, basándonos en su forma de pensar. Anteriormente se vio el ejemplo en donde X pensaba que no podía y la forma de llegar a una solución a su problema era pensar que sí podía, pero ahora pregunto ¿Qué pasaría si X ya tiene como pensamiento de multiplicación el pensamiento de no puedo? La expresión matemática que le correspondería sería la siguiente:

(-puedo)X

Si sobre esa estructura intenta eliminar la repercusión de ese pensamiento tratando de pensar que sí puede, la expresión quedaría de la siguiente manera:

(-puedo)X+puedo

Un pensamiento de suma no elimina un pensamiento de multiplicación aunque este sea de signo contrario. Desde el punto de vista del pensamiento de X, el intentar eliminar un pensamiento de multiplicación con uno de suma haría las veces de un auto convencimiento o de un intento de lavado de cerebro para tratar de convencerse de algo que no es y es aquí en donde ya no son efectivos los cursos motivacionales que tomó X.

Siguiendo la misma estructura que se siguió en la operación suma, el objetivo no era eliminar el pensamiento, sino realizar la operación inversa para obtener como resultado un neutro. Para el caso de la multiplicación, la operación inversa (Axioma M5) sería dividir por el valor que se desea reducir a un neutro. Por lo que la operación óptima en nuestro ejemplo sería el dividir por el pensamiento de (-puedo) de la siguiente manera:

Matemáticamente el resultado de dividir (-puedo) entre (-puedo) es uno y como el uno es neutro multiplicativo el resultado final es X, eliminando así cualquier afectación que le pudiera producir el encontrarse multiplicado por el pensamiento de no puedo.

Traduciendo lo anterior de términos matemáticos a pensamientos, el proceso sería como sigue: Si X le está afectando de manera recurrente el pensar que no puede, la pregunta que se tiene que hacer es: ¿Por qué no puedo? En el momento de realizar dicha pregunta está razonando y la pregunta automáticamente funge como denominador, por lo que el resultado es la reducción del pensamiento de “no puedo” a un neutro y X se libera de la afectación que le podría provocar dicho pensamiento.

Así como anteriormente se realizó un análisis sobre el número cero, por tener características especiales, tenemos ahora que el uno cumple de igual manera con las características de ser el neutro para la operación de multiplicación y el resultado de los inversos multiplicativos. La pregunta en este momento es ¿Qué concepto o qué pensamiento representa el número uno?

Después de traer esta pregunta en mi cabeza por más de tres meses, la misma desesperación de no poder encontrar una respuesta convincente, me llevó a decir algo que se basaba en lo obvio: ¡el uno es uno!

Normalmente el definir algo con lo definido no nos puede llevar a algo productivo, sin embargo en este caso es diferente el número uno de uno, es decir, el número uno representa la unidad, la unicidad y la individualidad. Con el uno se representa el que cada objeto en el universo es único, o sea, que existe únicamente uno y solamente un objeto de cada objeto. Esto quiere decir que cada pensamiento y cada persona en el universo es única y diferente a las demás, o sea, individual.

Gracias a los axiomas tenemos que desde el punto de vista matemático, por definición, el cero y el uno son neutros, sin embargo es necesario preguntarnos desde el punto de vista de pensamientos ¿Por qué la perfección y la individualidad son neutras?

Lo que caracteriza a un neutro es que no se nota o que su valor no va a afectar en nada el pensamiento original. Por ejemplo: En las votaciones de una elección (honesta) la persona que se abstiene es neutra, porque no es simpatizante de ningún partido, o también se puede dar el caso que sea simpatizante de todos, y por esto no se decide por quién votar. Ese abstencionismo no beneficia a ningún partido en particular, es como si esa persona no existiera, no se nota y no altera el valor de los votos anteriores.

La perfección sí es un pensamiento neutro porque no se nota y no afecta los pensamientos precedentes. Analicemos los siguientes ejemplos:

Cuando el cuerpo se encuentra en estado armonioso y sano se nota. Esto es que únicamente se nota cuando surge alguna imperfección o alguna alteración del estado de equilibrio, como el hambre, la sed, el frío, el sueño, o cuando surge algún dolor. Más gráficamente, te aseguro que mientras en este momento X no se encuentra pensando en el dedo meñique del pié izquierdo (a menos que le duela) porque se encuentra en estado perfecto y por lo tanto no lo nota.
Es muy difícil acordarse de cómo se siente estar sano cuando te encuentras enfermo, y esto es porque la perfección es un pensamiento neutro y no se nota, entonces cómo crees posible que vas a poder recordar un pensamiento que nunca notaste.
Existe una frase popular que dice: “nadie valora lo que tiene hasta que lo pierde”. Esto se da porque la perfección es un pensamiento neutro y el que algo no te falte ni te sobre se encuentra en el justo medio y por lo tanto es perfecto. Cuando surge una imperfección o se sale del justo medio (ya te falta) entonces ya no es un pensamiento neutro y ya lo notas.

En un salón de clases o en un lugar de trabajo siempre se dan a notar los extremos: El que es muy jovial y el que le cae mal a todos; a las personas que no se notan que ahí están son las personas que su forma de ser tiende más al justo medio.

La individualidad es un pensamiento neutro porque absolutamente todo en el universo es individual, entonces que algo o alguien sean individuales no denota ninguna diferencia con respecto al resto del universo. Por ejemplo: Supongamos que X se acaba de dar cuenta de que es individual e intenta presumir de eso. ¿Acaso podría presumirte que él es individual si tú también lo eres, todos lo son y todo lo es?

Cuauhtémoc

Debemos entender que los pensamientos de perfección e individualidad son neutros gracias a que son generales para todas las cosas, esto significa que la perfección y la individualidad se encuentran en todo el universo, por lo tanto también se encuentran en ti.

Axiomas de orden

O1. Para cualesquiera dos números reales a y b, una y solamente una de las siguientes relaciones se verifica:

a<b

a>b

a = b

Este axioma nos funciona para establecer parámetros de comparación entre dos pensamientos de la misma especie, es decir, como no existe ningún pensamiento idénticamente igual a otro entonces la única forma posible de encontrar un pensamiento igual a otro es comparándolo consigo mismo, porque lógicamente cada pensamiento es igual a sí mismo; dado el caso de compararlo con otro pensamiento se establece que entre ellos tiene que existir una de las otras dos relaciones posibles.

O2. Sean tres números reales a, b y c cualesquiera se cumple que:

si a<b y b<c

entonces: a<c

Al Axioma O2 también se le conoce como ley transitiva, la cual nos dice que si el primer elemento es mayor a un segundo y éste a su vez es mayor a un tercero, entonces se deduce que el primero es mayor al tercero sin necesidad de tener una relación directa entre estos dos.

O3. Si a<b y c es un número real entonces:

a+c<b+c

O4. Si a<b y c>0 entonces:

(a) x c<b x c

Los Axiomas O3 y O4 nos dicen que si existe una relación de orden entre dos pensamientos y si a los dos se les aplica la misma operación, los resultados van a mantener la misma relación de orden.

Los axiomas de orden van a ser fundamentales para el caso de estudio del capítulo V, en el cual se profundizará sobre los mismos.

L. El axioma del supremo.

Si S es un conjunto no vacío de elementos de números reales superiormente acotado, entonces S tiene un supremo en los números reales.

Cuando vi este axioma por primera vez y recordé que la definición de axioma es: un postulado tan simple o tan obvio que no requiere demostración. Mi pregunta inmediata fue ¿Y dónde está lo simple o lo obvio en este axioma?

Para poder dar una explicación del mismo será necesario definir los nuevos conceptos: conjunto vacío, conjunto no-vacío y conjunto acotado.

Conjunto vacío ( )- Matemáticamente hablando el conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Por ejemplo: Imaginemos que tenemos una caja para guardar herramientas... en este caso la caja sería nuestro conjunto y cada herramienta sería un elemento de dicho conjunto, si nosotros extraemos todos los elementos de la caja para limpiarla y la dejamos completamente vacía, entonces nuestra caja es un conjunto que no tiene elementos en su interior; eso es el conjunto vacío, un conjunto que no contiene a ningún elemento.

Por otro lado tenemos que definir lo que es un conjunto no vacío, que contrariamente a la definición de conjunto vacío sería un conjunto que sí posee elementos. Por ejemplo: si a nuestra caja vacía le agregamos un desarmador la caja deja de estar vacía porque ya tiene un elemento en su interior transformándose de un conjunto vacío a un conjunto no vacío.

La definición matemática de cota es: En un conjunto de números, es un valor más allá del cual no hay elementos del conjunto.

Conjunto acotado: Para explicar lo que es un conjunto acotado en una forma sencilla de entender me voy a apoyar de algunos ejemplos:

1. Si queremos organizar un equipo de baloncesto en el cual los integrantes no tengan una altura menor a un metro con ochenta centímetros estamos formando un conjunto acotado inferiormente por cierta altura establecida (1.80 m), debido a que existen una gran cantidad de estaturas menores a 1.80m y que no son parte del conjunto.

2. Si queremos formar un conjunto de todos los empleados de una empresa menores de cuarenta años, estamos formando un conjunto acotado superiormente en donde estarían incluidas todas las personas que aún no hayan cumplido los cuarenta años y todos los empleados de 40 años o más son valores que se encuentran fuera del conjunto.

3. En una convocatoria de empleo se solicitan 10 mujeres mayores de dieciocho años y menores de treinta y cinco; este conjunto va a constar de diez elementos y está acotado superior e inferiormente por las edades de dieciocho y treinta y cuatro[9] años respectivamente ya que cualquier que tenga una edad de 30 años o menos y cualquier mujer que tenga 35 años o más serán elementos que estarán fuera del conjunto.

Una vez contando con las definiciones anteriores ya podemos definir lo que es un supremo: Un conjunto S posee un supremo, si existe un real s que satisface las dos siguientes condiciones:

1. s es una cota superior de S.

2. Cualquier cota superior de S es mayor que s. Una cota inferior es el elemento de un conjunto que es menor a todos los demás elementos del conjunto como en el ejemplo uno lo fue la altura de un metro ochenta y en el ejemplo tres la edad de dieciocho años.

En otras palabras podemos decir que el supremo es el menor de las cotas superiores.

Retomando el axioma del supremo tenemos que:

Si S es un conjunto no vacío de elementos de números reales superiormente acotado, entonces S tiene un supremo en los números reales.

Primero analicemos de manera numérica cómo se encuentra el supremo de un conjunto. En conjuntos formados con números reales, tenemos que el supremo es el número con mayor valor dentro del conjunto, por ejemplo: si tenemos un conjunto definido como todos los números enteros que se encuentran comprendidos entre el uno y el cien, tenemos que el supremo será el número cien, ya que no existe ningún valor mayor a 100 que pertenezca al conjunto.

Si hablamos de la mente de X, tenemos que aunque a lo largo de este capítulo hemos estudiado sus pensamientos con números reales, por poseer características similares, debemos de poner especial atención al hecho que piensa pensamientos y no números. Por lo que no podemos ordenar sus pensamientos de tal manera que podamos encontrar cuál es mayor que cuál. Sin embargo, sí es posible utilizar el axioma del supremo si le ponemos una cantidad a cada pensamiento, no enumerándolos, sino contando el número de veces que X piensa algo en un día y de esta manera ya tenemos un conjunto de números acotado y podemos hacernos a la tarea de encontrar el supremo de dicho conjunto.

El conjunto del número de veces que piensa algo X en un día cumple con los requisitos que aplican en el axioma del supremo. El conjunto de los pensamientos de X no es un conjunto vacío, o en otras palabras, es un conjunto no vacío de elementos. Además se puede ver que es un conjunto acotado, ya que aunque X tenga una gran cantidad de pensamientos diferentes en un día, el número de veces que va a pensar cada uno de ellos nunca va a contemplar en un solo día todas las combinaciones posibles de pensamientos existentes, por lo cual habrá elementos que se encuentren fuera del conjunto.

Tomando en cuenta lo anterior, el axioma del supremo nos dice que en la mente de X debe de existir un elemento llamado s el cual es el supremo de ese conjunto.

Entonces: ¿cuál sería el pensamiento supremo dentro de la mentalidad de X?

Vamos a suponer los valores del conjunto del número de veces que X piensa algo en un día de la siguiente manera:

Pensamiento	Número de veces pensado durante un día
Abundancia	10
Preocupación	345
Estrés	280
Armonía	30
Miedo a ser asaltado	4
Comida	37
Nuevos proyectos	1,000
Culpas	456
Auto castigo	78
Reconocimiento	150

En este ejemplo podemos observar que el supremo sería el pensamiento de nuevos proyectos y por lo mismo, ese es el pensamiento supremo, lo que trae como consecuencia que en su experiencia verá un avance considerable en sus proyectos y los mismos van a fluir de una manera positiva muy natural. En este mismo ejemplo podemos ver que el número de veces que pensó en ser asaltado es mínimo, por lo que la causa que tiene este pensamiento es mínima y por lo mismo es muy poco probable que experimente algo así. En este caso es muy notorio cuál es el pensamiento supremo y a X le puede quedar completamente claro que están teniendo un efecto sus pensamientos.

Vamos a suponer la misma tabla para un caso en el que el pensamiento de X no se encuentra direccionado y es poco consciente de lo que piensa:

Pensamiento	Número de veces pensado durante la semana
Abundancia	1
Preocupación	2
Estrés	2
Armonía	1
Miedo a ser asaltado	3
Comida	2
Nuevos proyectos	1
Culpas	1
Auto castigo	2
Reconocimiento	2

En esta tabla el pensamiento supremo es el pensamiento de miedo a ser asaltado. Se puede observar que la diferencia con respecto a los demás pensamientos es mínima. Ejemplos como este se pueden observar de manera muy frecuente en personas que no tienen una autoconciencia de sus propios pensamientos, por lo que el pensamiento no está direccionado y la forma en la que suceden las experiencias aparenta ser de una manera aleatoria. Pregunto, ¿Cómo se va a dar cuenta X que pensó una vez más que los demás el pensamiento de ser asaltado? Independientemente de que se de cuenta o no, es el supremo de su mentalidad y por lo mismo es el pensamiento que tendrá un efecto visible más notorio que los demás, por lo que tendrá amplias posibilidades de experimentar un asalto.

De esta manera es muy lógico pensar que X va a suponer que no tuvo una causa sobre el mismo y hasta puede llegar a asegurar: “pero si yo nunca pensé que me fueran a asaltar”

Por el contrario, he escuchado a mucha gente que dice que no quiere pensar en lo que desea porque se le “sala” o piensa que pensando mucho en ello no lo va a lograr; además, dicen que no se quieren emocionar mucho por algo que desean, porque si se diera el caso de que no lo logren la frustración va a ser muy grande y prefieren no emocionarse para no frustrarse tanto. No sé si notas algo extraño en estas declaraciones una vez siendo consciente de que se cumple el axioma del supremo: ¡Están completamente al revés!

“Si deseas algo piénsalo, piénsalo y vuélvelo a pensar hasta que lleves ese pensamiento al supremo de tu mentalidad y lo puedas experimentar”

El tener una estructura de no pensar en lo que se desea, tiene como repercusión el no lograr los objetivos personales propuestos. Desde cierto punto de vista podríamos considerar lo anterior como algo grave, sin embargo, el problema mayor radica en que estamos acostumbrados a pensar lo peor y a pensar el bien como el menor de todos los males. Hay quienes cuando piensan que es posible que suceda un mal piensan lo peor de lo peor de lo que pueda pasar, para que en el momento que sucede lo malo que estaban esperando se sienten satisfechos porque no fue tan malo como todas las peores desgracias que su maravillosa imaginación llegó a pensar. Veamos varios ejemplos:

· Si a X lo asaltan, hay quien le podrá decir: “Tenía un primo que lo mataron en un asalto”, “¿Recuerdas que a la vecina la violaron?”, “Tú puedes dar gracias de que nada más te asaltaron”.

Supongamos que un niño se cae de la bicicleta y se pega en la cabeza sin pasar a mayores consecuencias. Es muy común escuchar testimonios como: “Qué bueno que no se rompió la cabeza”, “qué bueno que no se desfiguró la cara”, “y pensar que pudo haber quedado como vegetal”, “Yo tengo un primo que cuando se cayó....
Cuando habla alguna persona con la cual se ha perdido el contacto por mucho tiempo, lo primero en pensarse es “De seguro ya pasó alguna tragedia”.

Y así podría seguir dando ejemplos y ejemplos de todas las veces que ya por reflejo pensamos algo malo aún cuando ni siquiera viene al caso. Esta acción “tan normal” trae consigo todas las calamidades que estamos sufriendo hoy en día, porque con esta forma de pensar el pensamiento supremo la mayoría de las veces es algo malo y ese pensamiento es precisamente el que se manifiesta. Por eso y sin lugar a dudas lo mejor es pensar en lo que realmente deseamos que se manifieste en nuestra vida.

A continuación retomaremos algunos axiomas y algunas definiciones para profundizar en algunos temas particulares, en donde anteriormente, a falta de algunos conceptos, no podían ser expuestos

El otro punto de vista de la ley distributiva

La propiedad distributiva se puede analizar en dos direcciones, como un pensamiento de multiplicación que se distribuyen en la suma, o como una serie de pensamientos que tienen un factor común, es decir, si tenemos una serie de números de los cuales todos y cada uno de ellos se encuentran multiplicados por un mismo número, dicho número lo podemos extraer de cada término y expresar la operación como la multiplicación del número común por el conjunto de números. Por ejemplo:

En al suma 6 + 8 se puede verificar que tanto el seis como el ocho tienen división exacta entre el número dos, haciendo posible expresar la suma anterior como:

6 + 8 = (2)(3) + (2)(4)

Es evidente que el número dos se encuentra multiplicando a cada término de la suma, es decir, el término común entre el seis y el ocho, es el número dos. Ahora bien, si aplicamos inversamente la propiedad distributiva sabemos que lo anterior se puede expresar de la siguiente manera:

6 + 8 = 2(3 + 4)

Así hemos expresado dos número bajo un mismo término común, a lo que nos restaría explicar que significa dicha operación en la mentalidad: Si tenemos personas diferentes X e Y que poseen el mismo pensamiento de multiplicación en sus mentalidades, los podemos agrupar de tal manera que los dos se manejen bajo el mismo pensamiento. Por ejemplo: Supongamos que X y Y tienen como pensamiento de multiplicación el pensamiento de superación personal al que llamaremos “s”. Entonces matemáticamente quedarían expresados como: (s)(X) y (s)(Y). Cuando ellos están juntos, las ideas que definen a ambos se adicionan:

(s)(X) + (s)(Y)

Hemos expresado que X ya se encuentra junto con Y, pero como habíamos dicho anteriormente, si aplicamos la propiedad distributiva tenemos que la operación anterior se puede expresar de la siguiente manera:

(s)(X) + (s)(Y) = (s)(X + Y)

Con el resultado anterior acabamos de explicar el por qué nuestro grupo de amigos e inclusive nuestra pareja tienen pensamientos muy afines a nosotros mismos, es porque los pensamientos comunes a los dos agrupan a las dos personas bajo un mismo término común, llegando así a la conclusión:

"Lo semejante atrae a lo semejante."

Ya sé que comúnmente se piensa que polos opuestos se atraen, y aparentemente esa idea contradice lo que acabamos de decir, sin embargo, vamos a explicar el porqué también personas completamente antagónicas pueden llevar relaciones afectivas muy cercanas.

Supongamos que X e Y son completamente diferentes en la idea de paciencia, donde Y tiene como pensamiento de multiplicación la paciencia desarrollada y X es muy impaciente. Si denotamos al pensamiento de paciencia como “p” la expresión matemática de Y quedaría como: (p)(Y). Para el caso de la impaciencia tenemos que es el contrario del pensamiento de paciencia o el pensamiento de no-paciencia, en donde el "no" matemáticamente lo podríamos expresar como un signo negativo (una negación), teniendo así: (-p)(X). Entonces ya podemos expresar a dicha pareja como:

(p)(Y) + (-p)(X)

O lo que es lo mismo:

(p)(Y)-(p)(X)

Si te das cuenta no tiene ninguna importancia que tengan pensamientos completamente contrarios porque todo gira sobre la base del pensamiento de paciencia, que en este caso es el término común, de igual manera no existe ninguna prohibición para aplicar la ley distributiva, que una vez aplicándola nos quedaría:

(p)(Y)-(p)(X) = (p)(Y- X)

Como se puede observar aún cuando X e Y tienen pensamientos contrarios, en la idea de paciencia sí es semejante para ambos, y de la misma manera que cuando son similares, ese pensamiento crea un vínculo entre los dos, sin perder las diferencias que tienen en ese pensamiento.

Con lo que podemos concluir que ambos postulados son correctos:

"Lo semejante atrae a lo semejante."

“Polos opuestos se atraen”

Por otro lado los pensamientos comunes no tienen que ser exactamente idénticos porque también se puede contactar con alguien por una idea parcialmente similar, es decir, que basándose en algún tema en especial piensen similar pero tengan algunas diferencias en cuanto a algunos puntos de la idea.

Un ejemplo matemático sería el siguiente:

(6)(X) + (8)(Y)

Como habíamos dicho en un ejemplo anterior tanto el número seis como el número ocho tienen como término común al número dos. Entonces nuestros dos sujetos quedarían agrupados bajo el pensamiento del número dos:

(6)(X) + (8)(Y) = 2(3X+4Y)

Con el resultado anterior nos podemos dar cuenta de cómo podemos contactar con personas que son parcialmente semejantes a nosotros sin necesidad de ser semejantes totalmente en una idea o radicalmente opuestos.

Si conjuntamos esta conclusión con el análisis del cómo contactamos con personas con pensamientos completamente contrarios a nosotros, podemos llegar a pensar que sí existe una razón por la cual personas que no nos caen del todo bien se encuentran en nuestra experiencia. Podemos entender que sí existe cierta responsabilidad en nosotros mismos para seguir en contacto con dichas personas y no es resultado del destino ni de la mala suerte. Porque la base de dichas relaciones es gracias a pensamientos que son total o parcialmente semejantes, o total o parcialmente contrarios.

En el caso que en la experiencia de X se encuentre una persona que no es de su entero agrado, o que en un caso extremo le está provocando malas experiencias, X tiene todo el derecho y el poder de hacerse consciente de cuáles son los pensamientos semejantes a ellos y puede tener la plena seguridad que si elimina dichos pensamientos o aprende lo que tiene que aprender existen dos desenlaces posibles:

Esa persona se alejará de su experiencia sin necesidad de utilizar la violencia.
La relación se transformará en una relación más cordial.

De esta manera X puede liberar a su mente de cualquier sentido de injusticia o de coraje a la otra persona, porque la pelea no se encuentra afuera, sino adentro, en sus pensamientos.

El decir que con sólo eliminar los pensamientos que provocan el contacto con personas indeseables esas personas dejarán de causar molestia se escucha muy sencillo, sin embargo en la aplicación a la vida diaria no lo es tanto, es por esto que estas operaciones mentales las estudiaremos con mayor profundidad a lo largo del libro.

Los pensamientos racionales:

Un número racional es el número que está formado por el cociente[10] de dos enteros de la forma a/b. Donde a es el numerador y b es el denominador.

Los números racionales aunque sean fraccionarios siempre van a tener un valor perfectamente determinado, es decir, se sabe exactamente el punto que ocupan dentro de la recta numérica. Por ejemplo:

El número 1/2 se encuentra exactamente en el punto intermedio entre el cero y el uno.
El número 1/3 expresado tal como se esta se encuentra en la tercera parte entre el cero y el uno, pero si se obtiene su valor numérico tenemos que 1/3 = 0.3333333..., o sea que tiene un infinito número de decimales que cumplen con la característica de que son cíclicos (se repiten los mismos decimales una y otra vez)
El número 6/7 tiene el valor de 0.857142857142857142..., Que como te darás cuenta se repite la serie 857142 una y otra vez siguiendo la propiedad de ser cíclico.

En la mentalidad existen unos pensamientos que cumplen con las mismas características: los pensamientos racionales. La parte racional de la mentalidad posee pensamientos exactos y perfectamente determinados, ya sea en pensamientos primitivos o en pensamientos que son producto de un pensamiento ya razonado.

NOTA: Los números enteros también son números racionales debido a que cumplen con la característica de que pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. Por ejemplo el número 3 puede ser expresado como 3/1.

A continuación vamos a ejemplificar cómo los pensamientos racionales siempre tienen un valor bien definido e identificable:

Si le preguntamos a X qué desayunó hoy en la mañana, nos puede decir exactamente qué fue lo que desayunó.
Si te pregunto en este momento ¿qué hora es? Me puedes dar un valor perfectamente bien identificado.

Los sentimientos.

Aparentemente podríamos obtener cualquier número existente con el cociente de dos enteros; sin embargo existe otro conjunto de números que es completamente imposible expresarlos de dicha manera. Un ejemplo muy común es el número pi (p) porque es un número que tiene una infinidad de decimales no cíclicos y no se puede expresar mediante un número racional:

p=3.1415926535897932384626433832795…

El estudio sobre el número p ha sido muy amplio, hay computadoras calculando día y noche cada vez más decimales de la expansión decimal de p, llegando a miles de billones de decimales sin haber encontrado un solo patrón.

Al conjunto de números que cumplen con las características de no poder ser expresados mediante el cociente de dos enteros y de tener una expansión decimal infinita que no es cíclica y se les llama números irracionales. Como no se cumple ningún patrón en los decimales de los números irracionales, no se sabe con exactitud el punto exacto en donde se encuentran dentro de la recta numérica. Con el mismo ejemplo podemos intentar encontrar la ubicación del número p dentro de la recta numérica para que veas lo que sucede:

Sabemos que el número que estamos buscando se encuentra entre el 3.14 y el 3.15:

3.14 p 3.15

Si ampliamos (como si fuera una lupa) el intervalo que tomamos para una mejor exactitud sabríamos que el número p se encuentra entre el 3.141 y el 3.142:

3.141 p 3.142

Y así sucesivamente podríamos seguir haciendo indefinidamente particiones de nuestro intervalo, teniendo después de varias iteraciones tendríamos que p se encuentra entre el 3.1415926 y el 3.1415927, siempre se va a encontrar dos números y jamás vamos a conocer su valor con exactitud. El tipo de pensamientos que cumplen con estas características son los sentimientos: Existen, pero no se sabe con exactitud su valor.

Cuando hablamos de sentimientos lo más que podemos hacer son aproximaciones, mismas que se pueden acercar muchísimo al valor pero jamás van a llegar a él. Vamos a ejemplificar lo anterior de la misma manera en la que se ejemplificaron los números racionales:

Si le preguntamos a X fue lo que sintió en su primer beso, nos va a dar una serie de adjetivos que se aproximarán a lo que sintió, pero jamás va a llegar a definirlo exactamente.
Si le preguntamos a Y qué sintió cuando nació x₁ nunca llegará a definirlo con una exactitud incuestionable.

El razonamiento no es una propiedad exclusiva del saber, sino que es únicamente una operación de la mentalidad que al igual que las demás es indiferente el tipo de número que se use en la operación. Aunque no sea muy fácil de imaginar, también existe el razonamiento en sentir debido a que dicha operación consiste únicamente en comparar la relación que existe entre dos pensamientos (como habíamos dicho anteriormente) ya sean de saber o de sentir. Un ejemplo de razonamiento en sentir podría ser de la siguiente manera:

Si X razona la intención que tiene para hacer nuevos proyectos con respecto al pensamiento de inseguridad, tenemos que se está llevando un racionamiento entre dos sentimientos, en donde el resultado será (por ejemplo) miedo a realizar el proyecto (que también es un sentimiento)

Ahora que ya sabemos que existe el razonamiento tanto en saber como en sentir, sería de mucha utilidad conocer los resultados de un razonamiento dependiendo del tipo de pensamiento que se tome como pensamiento primitivo, así como el tipo de pensamiento que utilicemos como base para razonar.

· Saber sobre saber: Debido a la definición de pensamiento racional, el resultado de un razonamiento de dos pensamientos racionales será racional. Por ejemplo: ¿Eres el más joven de tus amigos? Aquí el pensamiento primitivo es la idea de edad y la base para razonar es la edad de tus amigos, los dos pensamientos son de saber y como verás el razonamiento acepta conclusiones concretas tales como: Sí o no.

· Saber sobre sentir: Numéricamente se verifica que la división de un número racional sobre un número irracional es irracional, en la mayoría de los casos[11]. Por ejemplo: 5/ =3.53553390594... En la mente se cumple la misma relación; cuando analizamos algo concreto con respecto una emoción el resultado es un sentimiento. Por ejemplo: Si una persona le piden el divorcio y trata de razonar su respuesta con la base de que ama a su pareja, tenemos como pensamiento primitivo el concepto de divorcio y como base para razonar el sentimiento de amor. El resultado de este razonamiento se encuentra en sentir, en donde la conclusión podría ser: ¡Es injusto! Entre muchas otras respuestas posibles.

· Sentir sobre saber: En este caso el resultado numérico es análogo al anterior, por ejemplo: /5 = 0.282842712474... El resultado de igual manera se encuentra en sentir. Un ejemplo podría ser analizar el porqué se ama a una persona con la base para razonar de que es puntual, detallista y tiene un buen sueldo, etc. El resultado de este razonamiento se podría acercar demasiado al porqué de ese sentimiento pero jamás se podrá llegar a una conclusión exacta, por eso la conclusión se encuentra en sentir.

· Sentir sobre sentir: Es muy lógico pensar que el resultado de un razonamiento en sentir sobre una base para razonar de mismo tipo sea en sentir; de hecho sucede en la mayoría de los casos, sobre todo en el caso en el que el pensamiento elemental y la base para razonar son diferentes. Por ejemplo: El número p (Pi) es un número irracional que tiene el valor de 3.14159265359... entonces si matemáticamente dividimos dos números irracionales, en este caso, p / el resultado es 2.22144146908... que por supuesto es irracional. Un ejemplo práctico podría ser el razonar que intuyes que alguien te ama, si te das cuenta el resultado de ese razonamiento será completamente en sentir; sin embargo, no es una ley que al razonar emociones el resultado tenga que ser por fuerza irracional, como se da en el caso del saber. Por ejemplo cuando se razona un sentimiento con base en sí mismo el resultado es uno, que es racional. Por ejemplo: p/ p=1 y / =1.

Finalmente, cabe aclarar que tanto los pensamientos racionales como los irracionales son pensamientos elementales, ya que la unión de estos dos grandes conjuntos nos da el conjunto de los números reales. Concluyendo así que el conjunto de todos los pensamientos posibles, se encuentra constituido por la unión de pensamientos racionales y de sentiemintos.

CONCLUSIONES:

La vida se puede estudiar mediante un modelo matemático.
La representación matemática de los pensamientos elementales son los números reales.
La suma de pensamientos es cuando se agrega un nuevo pensamiento a la mentalidad o se suman entre sí.
La multiplicación de pensamientos es cuando un pensamiento se distribuye en cada uno de los pensamientos de la mentalidad.
Todas las operaciones en la mentalidad como sus objetivaciones se desarrollan gradualmente, asociando un nuevo pensamiento hasta que la operación anterior haya sido realizada.
El cero representa matemáticamente a la perfección.
El uno representa matemáticamente a la individualidad.
Existe un pensamiento supremo en la mente de X.
Los números racionales representan a los pensamientos en saber y estos tienen la cualidad de estar determinados con exactitud.
Los números irracionales representan a los sentimientos y tienen la característica de que no se pueden racionalizar, no tienen un valor exacto y únicamente se pueden llegar a aproximaciones de su valor real.

[1] En este libro no estoy suponiendo que el lector tiene conocimientos matemáticos, por esto las explicaciones son lo más sencillas posibles.

Lo único que será necesario comprender son los conceptos y no las operaciones. En dado caso que se requiera hacer una operación, se va a exponer paso a paso, mas no se le va a dar énfasis a la explicación de la operación sino a la del concepto. De todas maneras voy a proponer bibliografía para aquellos que se interesen en profundizar en el conocimiento matemático (aunque no es el objetivo de este libro).

[2]Para mayor información acerca de los axiomas de los números reales se puede consultar el libro: ANÁLISIS MATEMÁTICO I, Haaser, Sullivan, La Salle. Capítulo I

[3] NOTA: Matemáticamente cuando se tiene un número e inmediatamente una letra, la operación que se hace es una multiplicación y no es necesario ni poner paréntesis ni el signo de “por”.

[4] La explicación de este Axioma la iremos enriqueciendo a lo largo de los tres libros y por el momento no contamos con todos los elementos necesarios para poder explicar todas las implicaciones del mismo.

[5] Los corchetes “[ ]” se utilizan en notación matemática de la misma manera que los paréntesis, para agrupar operaciones y como multiplicación. En este ejemplo: (a)[(b)(c)] es exactamente lo mismo que escribir: ax(bxc) y como se había mencionado en el capítulo pasado, se utilizan los paréntesis para evitar confusiones con la “X”

[6] Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad" (Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss)

[7] Moral a Nicómaco · libro segundo, capítulo VI

[8] El porqué la exclusión del cero del presente axioma se detallará en el capítulo 6

[9] Si tiene 35 se sale del conjunto, porque se estableció como “menores” de 35 y no “de 35 o menores”

[10] Cociente es sinónimo de división.

[11] La excepción es cuando el numerador es cero, el resultado es cero y es racional

Un Modelo Matemático para la Vida

Páginas

Capítulo 2